GMAT数学备考指导：一元二次方程
想要迅速提高GMAT数学的考试成绩，考生需要在熟练掌握GMAT数学备考要点的基础上，掌握一些实用的解题技巧，以提高GMAT数学的备考效率。下面就来为大家简单介绍一下GMAT数学考试中的常见考点及解题技巧，希望能够为考生备考GMAT数学带来帮助。
一、知识要点：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式=b2-4ac。
定理1 ax^2+bx+c=0中，0方程有两个不等实数根
定理2 ax^2+bx+c=0中，=0方程有两个相等实数根
定理3 ax^2+bx+c=0中，0方程没有实数根
2、根的判别式逆用得到三个定理。
定理4 ax^2+bx+c=0中，方程有两个不等实数根0
定理5 ax^2+bx+c=0中，方程有两个相等实数根=0
定理6 ax^2+bx+c=0中，方程没有实数根0
注意：再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0
二.根的判别式有以下应用：
不解一元二次方程，判断根的情况。
例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
ax^2+bx=0
解：
∵a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵=2-4a
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
0， 故方程有两个实数根。
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0有两个不相等的实数根;有两个相等的实数根;没有实数根;
分析：由判别式定理的逆定理可知0;0;
解：=2-4
∵方程有两个不相等的实数根，
0，即36-4k0.解得k
∵方程有两个不相等的实数根，
=0，即36-4k=0.解得
∵方程有两个不相等的实数根，
0，即36-4k0.解得
证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3.求证方程x2-2mx+=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 分页标题#e#
证明： =-42
∵不论m取任何实数
-420, 即
关于x的方程x2-2mx+=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
计算
用配方法将恒等变形
判断的符号
结论.其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,2, -a2, -2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
应用根的判别式判断三角形的形状。
例4.已知：a、b、c为ABC的三边，当m0时，关于x的方程c+b-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例5、若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是
若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是
分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即
解：
∵方程有两个相等的实数根，
=k2-416
k=+40或者
∵方程有两个相等的实数根，=16-4k=0
可以判断抛物线与直线有无公共点
例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?
解:列方程组消去y并整理得
，∵抛物线与直线只有一个交点，
=0，即 4m+5=0
说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
可以判断抛物线与x轴有几个交点
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为。
当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是。
当 时，抛物线与x轴没有交点。
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
解：=16-12=40 抛物线与x轴有两个交点。
=36-36=0 抛物线与x轴只有一个公共点。 分页标题#e#
=4-16=-120 抛物线与x轴无公共点。
例8、已知抛物线
当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点?
当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。
当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点?
解：令y=0，则 =
∵抛物线与x轴有两个公共点， 0，即 4m+80
∵抛物线和x轴只有一个公共点， =0，即 4m+8=0
当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，抛物线与x轴公共点坐标为。
∵抛物线与x轴没有公共点， 0，即 -4m+80，
当m2时，抛物线与x轴没有公共点。
利用根的判别式解有关抛物线与x轴两交点间的距离的问题
分析:抛物线 与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。
想要迅速提高GMAT数学的考试成绩，考生需要在熟练掌握GMAT数学备考要点的基础上，掌握一些实用的解题技巧，以提高GMAT数学的备考效率。下面就来为大家简单介绍一下GMAT数学考试中的常见考点及解题技巧，希望能够为考生备考GMAT数学带来帮助。
一、知识要点：
1.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式=b2-4ac。
定理1 ax^2+bx+c=0中，0方程有两个不等实数根
定理2 ax^2+bx+c=0中，=0方程有两个相等实数根
定理3 ax^2+bx+c=0中，0方程没有实数根
2、根的判别式逆用得到三个定理。
定理4 ax^2+bx+c=0中，方程有两个不等实数根0
定理5 ax^2+bx+c=0中，方程有两个相等实数根=0
定理6 ax^2+bx+c=0中，方程没有实数根0
注意：再次强调：根的判别式是指=b2-4ac。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号。根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0
二.根的判别式有以下应用：
不解一元二次方程，判断根的情况。
例1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：
ax^2+bx=0
解：
∵a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
∵=2-4a
∵无论b取任何关数，b2均为非负数，
0， 故方程有两个实数根。
根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例2.k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0有两个不相等的实数根;有两个相等的实数根;没有实数根;
分析：由判别式定理的逆定理可知0;0;
解：=2-4
∵方程有两个不相等的实数根，
0，即36-4k0.解得k
∵方程有两个不相等的实数根，
=0，即36-4k=0.解得
∵方程有两个不相等的实数根，
0，即36-4k0.解得
证明字母系数方程有实数根或无实数根。
例3.求证方程x2-2mx+=0没有实数根。
分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 分页标题#e#
证明： =-42
∵不论m取任何实数
-420, 即
关于x的方程x2-2mx+=0没有实数根。
小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
计算
用配方法将恒等变形
判断的符号
结论.其中难点是的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,2, -a2, -2的代数式，从而判定正负，非负等情况。
应用根的判别式判断三角形的形状。
例4.已知：a、b、c为ABC的三边，当m0时，关于x的方程c+b-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。
判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式
例5、若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是
若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是
分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即
解：
∵方程有两个相等的实数根，
=k2-416
k=+40或者
∵方程有两个相等的实数根，=16-4k=0
可以判断抛物线与直线有无公共点
例6:当m取什么值时，抛物线与直线y=x+2m只有一个公共点?
解:列方程组消去y并整理得
，∵抛物线与直线只有一个交点，
=0，即 4m+5=0
说明：直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。
可以判断抛物线与x轴有几个交点
分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：
当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为。
当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是。
当 时，抛物线与x轴没有交点。
例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数：
解：=16-12=40 抛物线与x轴有两个交点。
=36-36=0 抛物线与x轴只有一个公共点。 分页标题#e#
=4-16=-120 抛物线与x轴无公共点。
例8、已知抛物线
当m取什么值时，抛物线和x轴有两个公共点?
当m取什么值时，抛物线和x轴只有一个公共点?并求出这个公共点的坐标。
当m取什么值时，抛物线和x轴没有公共点?
解：令y=0，则 =
∵抛物线与x轴有两个公共点， 0，即 4m+80
∵抛物线和x轴只有一个公共点， =0，即 4m+8=0
当m=2时，方程可化为，解得x1=x2= -1，抛物线与x轴公共点坐标为。
∵抛物线与x轴没有公共点， 0，即 -4m+80，
当m2时，抛物线与x轴没有公共点。
利用根的判别式解有关抛物线与x轴两交点间的距离的问题
分析:抛物线 与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程 的两根差的绝对值。它有以下表示方法：
例9: 求当a为何值时?二次函数 图象与x轴的两个交点间的距离是3。
